忘了怎么发现的这道题，反正题挺水的。
解法
想要输出一棵树的结构，我们必须先知道这棵树有几个节点。
我们知道节点个数相同的一类树它们的编号是连续的。我们考虑预处理出节点个数为 $i$ 的不同的树有几种，记作 $num_i$。
每棵树肯定有一颗树根。枚举左子树的大小 $j \in [0,i-1]$，那么右子树的大小即为 $i - j - 1$，根据乘法原理，当左子树的大小为 $j$ 时节点个数为 $i$ 的不同的树有 $sum_j \times sum_{i - j - 1}$，所以 $sum_i=\sum \limits {j=0}^{n-1} sum_j\times sum{i-j-1}$。我选择了打表预处理，代码如下。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
int ans[20],n;
signed main()
{
ans[0]=1,ans[1]=1;
for(int i=2;i<=19;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++) ans[i]+=ans[j]*ans[i-j-1];
if(ans[i]>500000000)
{
n=i-1;
break;
}
}
std::cout<<n<<"\n";
for(int i=0;i<=n;i++) std::cout<<ans[i]<<",";
return 0;
}
现在考虑两颗节点数相同的树。
一颗树的编号共同取决于其左子树的编号和右子树的编号。在左子树编号不同时，左子树编号小的树编号小。在左子树编号不同时，右子树编号小的树编号小。
考虑如何确定左、右子树的编号。这样就可以完整打印一棵树的结构了。
定义一类 $n$ 颗节点，左子树大小为 $lsiz$ 的树的初始形态如下:
X
/ \
X X
\ \
X X
\ \
X X
......
此时 $id_{ori} = \sum \limits ^{n-1} {i=0} num_i$。如果想要求 $id$ 为 $id{now}$ 的树的形态，就优先改变右子树的形态 $id_{now} - id_{ori}$ 次，注意到，右子树改变了 $num_{n-lsiz-1}$ 次后就改变了一个周期。这时我们需要改变左子树的形态，在右子树改变了一个周期后左子树改变一次。
需要注意的是因为优先改变右子树，所以我们在周期中不能改变 $0$ 次右子树形态，所以需要一次特判，将 $0$ 改成 $num_{n-lsiz-1}$ 即可。
代码
#include<bits/stdc++.h>
namespace fast_IO
{
/**
* 快读快写
*/
};
using namespace fast_IO;
#define int long long // 害怕。
int n,num[]={1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700};
inline void print(int siz,int ind) // siz 表示子树大小，ind 表示子树大小为 siz 中需要打印的树的排序，第几大。
{
if(ind==0) ind=num[siz];
if(siz==1)
{
out<<'X';
return;
}
int lsiz=0,cyc;
while(ind>num[lsiz]*num[siz-lsiz-1]) ind-=num[lsiz]*num[siz-lsiz-1],lsiz++; // 确定左子树大小
cyc=ceil(ind*1.0/num[siz-lsiz-1]);
if(lsiz) out<<'(',print(lsiz,cyc),out<<')';
out<<'X';
if(siz-lsiz-1) out<<'(',print(siz-lsiz-1,ind-(cyc-1)*num[siz-lsiz-1]),out<<')';
}
signed main()
{
int siz;
while(1)
{
in>>n;
if(n==0) break;
siz=1;
while(n>num[siz]) n-=num[siz],siz++;
print(siz,n),out<<'\n';
}
fwrite(Ouf,1,p3-Ouf,stdout),fflush(stdout);
return 0;
}
